Dieci paradossi, e il punto esatto in cui il ragionamento cede

«Paradosso» in greco vuol dire contro l'opinione comune: para-doxa. Non è un errore e non è un trucco — è il punto in cui un ragionamento fatto bene arriva dove non doveva arrivare, e ti costringe a tornare indietro a cercare dove hai messo il piede in fallo. A volte il piede in fallo non c'è: la conclusione assurda è semplicemente vera, e quello che va buttato è l'intuizione.

Ne ho messi in fila dieci. Sono di famiglie molto diverse — c'è la matematica, l'urbanistica, il diritto, le riunioni aziendali, i viaggi nel tempo — ma hanno tutti la stessa forma: ogni passo è ragionevole, e la somma dei passi non lo è.

1. Il paradosso di Fermi — dove sono tutti?

Estate 1950, mensa di Los Alamos. Enrico Fermi pranza con Emil Konopinski, Edward Teller e Herbert York; si parla di dischi volanti e di una vignetta del New Yorker, poi la conversazione va altrove. A metà pasto Fermi esce dal silenzio con una domanda che i tre ricordano per il resto della vita: «Ma allora, dove sono tutti quanti?»

Il conto che aveva fatto a mente è più o meno questo. La Via Lattea ha qualche centinaio di miliardi di stelle. Ha dodici miliardi di anni: il Sole ne ha quattro e mezzo, quindi ci sono stelle più vecchie della nostra di miliardi di anni. Il telescopio Kepler, sessant'anni dopo, ha aggiunto il pezzo che a Fermi mancava — i pianeti sono la norma, non l'eccezione, e quelli di taglia terrestre in zona abitabile si contano a miliardi. E anche viaggiando piano, a un centesimo della velocità della luce, con sonde che si autoreplicano e colonizzano una stella alla volta, la galassia si attraversa tutta in qualche milione di anni: un battito di ciglia, su scala cosmica. Chiunque sia partito prima di noi dovrebbe essere già qui da un pezzo.

E invece il cielo tace. Nessun segnale, nessuna sonda, nessuna megastruttura.

Nel 1961 Frank Drake mise il problema in formula — la famosa equazione di Drake, che non è una previsione ma un elenco ordinato di tutto quello che non sappiamo. Le risposte al silenzio si dividono in tre scaffali:

Non ci sono. L'ipotesi «Terra rara»: la vita complessa richiede una tale sequenza di colpi di fortuna (una luna grande che stabilizza l'asse, Giove che fa da parafulmine per gli asteroidi, la tettonica a placche) che siamo praticamente soli.
C'erano. Il Grande Filtro di Robin Hanson, 1996: da qualche parte lungo la strada che va dalla chimica alla civiltà interstellare c'è un passaggio che quasi nessuno supera. La domanda inquietante è se il filtro sia dietro di noi — e allora siamo dei miracolati — o davanti. Ogni volta che troviamo tracce di vita altrove, la seconda ipotesi guadagna terreno: se la vita è facile, il collo di bottiglia deve stare più avanti.
Ci sono, ma stanno zitti. L'ipotesi dello zoo (ci osservano e non interferiscono); oppure la foresta oscura di Liu Cixin: in un universo dove non puoi sapere le intenzioni di chi ti risponde e il primo che spara vince, l'unica strategia razionale è non fare rumore. Sotto questa lettura, i progetti che trasmettono di proposito verso le stelle sono un'idea pessima.

Il paradosso resta aperto. È l'unico dei dieci di cui non conosciamo la soluzione — e uno dei pochi in cui la risposta ci riguarda personalmente.

2. Il paradosso di Braess — la strada nuova che rallenta tutti

1968, Dietrich Braess, matematico tedesco, pubblica un articolo dal titolo asciutto: Su un paradosso della pianificazione dei trasporti. La tesi: aggiungere una strada a una rete può aumentare i tempi di percorrenza di tutti. Non «di qualcuno»: di tutti, compreso chi la strada nuova la usa.

Il meccanismo si vede con quattro nodi. Da Casa a Ufficio ci sono due percorsi. Il primo passa per il ponte A: un tratto che dipende dal traffico (dieci minuti se ci passano in mille, un minuto se ci passano in cento) più un tratto fisso da 45 minuti. Il secondo è speculare: 45 minuti fissi e poi un tratto congestionabile. Con quattromila automobilisti che si dividono a metà, ognuno ci mette 65 minuti.

Adesso apriamo una bretella velocissima, tempo zero, che collega i due percorsi a metà strada. Ogni singolo automobilista, guardando solo il proprio interesse, si accorge che gli conviene prendere il tratto congestionabile, poi la bretella, poi l'altro tratto congestionabile: salta entrambi i pezzi da 45 minuti. Ma se ci ragionano tutti, tutti finiscono sugli stessi due tratti, che si intasano: 80 minuti a testa. Quindici minuti persi da ognuno, grazie a una strada gratis. E nessuno può migliorare la propria situazione cambiando strada da solo: è un equilibrio di Nash, ed è peggiore dell'ottimo sociale. La distanza fra i due si chiama, con una certa eleganza, prezzo dell'anarchia.

La parte bella è che succede davvero.

Stoccarda, anni Settanta. Dopo un investimento sulla rete stradale del centro, il traffico non migliorò. Migliorò quando venne richiuso un tratto appena aperto.
New York, 22 aprile 1990. Per l'Earth Day chiusero la 42ª strada, quella che tutti davano per irrinunciabile. Il traffico a Midtown, contro ogni previsione, migliorò.
Seul, 2003. Il sindaco Lee Myung-bak fece demolire una sopraelevata a sei corsie che copriva il torrente Cheonggyecheon, e al suo posto ci mise un parco lineare di quasi sei chilometri. Previsione unanime: catastrofe. Risultato: i tempi di percorrenza in centro scesero.

Lo stesso identico fenomeno si può costruire con molle e corde: si taglia una corda che sostiene un peso e il peso sale. Braess vale per il traffico dei dati come per quello delle automobili, e ogni tanto qualcuno lo riscopre litigando con una rete che peggiora ogni volta che ci si aggiunge un collegamento.

3. Il paradosso di Abilene — tutti d'accordo, nessuno convinto

Coleman, Texas, un pomeriggio di luglio del 1974. Trentanove gradi, un ventilatore, quattro persone che giocano a domino sotto il portico. Il suocero dice: «Perché non andiamo a cena ad Abilene?». Abilene è a 85 chilometri. Il genero pensa che sia una pessima idea, ma risponde «per me va bene, purché vada bene a tua moglie». La moglie dice che le va benissimo. La suocera dice che è un pezzo che non ci va.

Ottantacinque chilometri di polvere in una Buick senza aria condizionata, una cena da tavola calda dimenticabile, ottantacinque chilometri di ritorno. Rientrati, sudati, qualcuno mente per educazione: «bella gita». E lì la cosa si scioglie. La suocera dice che a lei sarebbe piaciuto di più restare a casa, ci è andata perché sembravano entusiasti gli altri tre. Il genero dice che ci è andato per non deludere. La moglie idem. Il suocero, quello che l'ha proposta, dice che l'aveva buttata lì solo per paura che gli altri si stessero annoiando.

Quattro persone hanno appena fatto insieme, di comune accordo, una cosa che nessuna delle quattro voleva fare.

Jerry B. Harvey, che era il genero e insegnava management alla George Washington University, ci scrisse sopra un articolo che è diventato un classico: The Abilene Paradox: The Management of Agreement. Il punto che gli premeva è la parola agreement. Non è il pensiero di gruppo, dove la pressione del gruppo ti fa cambiare idea: qui nessuno cambia idea, tutti mantengono la propria e tutti agiscono contro di essa, perché ognuno ha letto male quella degli altri. Il problema non è il conflitto: è l'incapacità di gestire un accordo che non esiste.

Esempi in libertà: il progetto aziendale che va avanti per due anni e che, il giorno in cui viene cancellato, si scopre che nessuno riteneva sensato fin dall'inizio. La riunione in cui il capo «lancia un'idea» e la stanza annuisce. Le vacanze di famiglia programmate su un desiderio che era di nessuno. Il caso di scuola in politica estera è la Baia dei Porci: consiglieri che nella stanza tacevano e fuori dalla stanza avevano tutti dei dubbi.

L'antidoto è banale e nessuno lo usa: chiedere il giro di tavolo prima di partire, uno alla volta, cominciando da chi ha meno potere.

4. Il paradosso del sorite — quando un mucchio diventa un mucchio

Soros, in greco, è il mucchio. Il paradosso è attribuito a Eubulide di Mileto, IV secolo a.C., lo stesso a cui dobbiamo il paradosso del mentitore. Va così:

Un chicco di sabbia non è un mucchio. Aggiungere un chicco a ciò che non è un mucchio non lo trasforma in un mucchio. Dunque nessuna quantità di sabbia è un mucchio.

Le due premesse sembrano innegabili, il ragionamento è una banale induzione, la conclusione è falsa: i mucchi esistono, li ho visti. Nella versione al contrario — quella che i greci chiamavano falacros, il calvo — si toglie un capello alla volta a una persona con centomila capelli e non si trova mai il capello la cui caduta produce la calvizie.

Non è un gioco di parole: è il problema della vaghezza, e il vocabolario ne è pieno. Alto, ricco, anziano, tiepido, rosso (a che lunghezza d'onda finisce l'arancione?), povero, ubriaco, adulto. Ogni volta che una parola vaga incontra una decisione netta, il sorite presenta il conto:

Il diritto lo aggira con soglie arbitrarie e dichiarate: 0,5 grammi per litro, diciotto anni, l'anno di età pensionabile. Nessuno crede che il giorno del diciottesimo compleanno succeda davvero qualcosa: si sceglie una riga perché serve una riga.
La bioetica ci sbatte contro sul serio: quando un embrione diventa una persona? Nessun istante del suo sviluppo è quello in cui il cambiamento avviene, eppure agli estremi la differenza è totale.
La medicina ridefinisce continuamente dove comincia l'ipertensione o il sovrappeso, e ogni spostamento della soglia sposta milioni di persone da una parte all'altra.

Le vie d'uscita sono tre, e nessuna è comoda. L'epistemicismo di Timothy Williamson: il confine netto c'è — esiste un numero esatto di chicchi che fa il mucchio — solo che è inconoscibile, e il nostro problema è di ignoranza, non di realtà. La logica fuzzy, formalizzata da Lotfi Zadeh nel 1965: la verità non è 0 o 1 ma un numero fra i due, e «è un mucchio» può essere vero al 60 per cento — con il piccolo prezzo di rinunciare al principio del terzo escluso (ed è la logica con cui funzionano certe lavatrici e certi impianti frenanti). Il sopravvalutazionismo: la frase è vera se resta vera per ogni modo ammissibile di tracciare il confine, e nella zona grigia non è né vera né falsa.

5. Il paradosso di Parrondo — due giochi che perdono, insieme vincono

Questo è il più controintuitivo dei dieci, e l'unico che si può verificare a casa in venti righe di codice. Juan Parrondo, fisico spagnolo, lo presentò a Madrid nel 1996 partendo da un problema di termodinamica — il cricchetto browniano di Feynman — e finì su Physical Review Letters nel 1999 con Harmer e Abbott. La tesi:

Esistono due giochi d'azzardo, entrambi perdenti, tali che alternandoli — anche a caso — si vince.

Il trucco non è nei giochi: è nel fatto che uno dei due dipende dallo stato in cui l'altro ti lascia. Ecco la versione classica.

Gioco A. Lanci una moneta appena truccata contro di te: vinci un euro con probabilità 0,5 − ε, ne perdi uno con probabilità 0,5 + ε. Giocando solo a questo, a lungo andare perdi. Piano, ma perdi.
Gioco B. Guardi il tuo capitale. Se è un multiplo di tre, usi una moneta pessima: vinci con probabilità 0,1 − ε. Se non lo è, usi una moneta ottima: vinci con probabilità 0,75 − ε. Sembra conveniente, e invece perdi anche qui — perché il gioco stesso, con la sua dinamica, ti fa passare per i multipli di tre molto più spesso di un terzo delle volte. Ci finisci dentro, e ci resti.
A + B alternati, in qualunque ordine, anche scegliendo a caso a testa o croce a ogni turno: si vince, e il capitale sale in modo costante.

Perché? Perché il gioco A, che da solo è solo una lenta emorragia, fa da mescolatore: sposta il capitale in modo che quando tocca a B non lo si becchi quasi mai sul multiplo di tre. A paga un piccolo pedaggio per tenere B lontano dai suoi stati cattivi, e B ricambia con le sue monete ottime. Il tutto è più della somma, e con segno opposto.

Non è una macchina per fare soldi al casinò — lì i giochi sono indipendenti dal capitale, e il presupposto salta. Ma il meccanismo è ovunque ci sia un sistema che memorizza in che stato si trova: in finanza il ribilanciamento periodico fra due asset volatili e mediocri può rendere più di ciascuno dei due (il cosiddetto demone di Shannon); in ecologia popolazioni che alternano due habitat entrambi sfavorevoli possono prosperare; in evoluzione il bet-hedging, la strategia di chi diversifica perdendo un po' in media per non estinguersi mai. La morale generale: con la nostra intuizione lineare, giudicare due strategie separatamente non dice niente su cosa fanno insieme.

6. Il paradosso della tolleranza — quanto si può tollerare l'intolleranza

Karl Popper, 1945, La società aperta e i suoi nemici, e la cosa buffa è che non sta nel testo: sta nella nota 4 al capitolo 7. Il ragionamento è di una riga:

La tolleranza illimitata porta necessariamente alla scomparsa della tolleranza.

Se una società tollera senza limiti, tollera anche chi è determinato a distruggerla, e se costoro vincono la tolleranza finisce insieme a tutto il resto. Quindi una società tollerante, per restare tale, deve essere intollerante verso l'intolleranza. Il che, letto in fretta, suona come un'autorizzazione a zittire chiunque, ed è esattamente il motivo per cui vale la pena leggere il resto della nota — che quasi nessuno cita.

Popper mette due condizioni, ed è lì che sta la sostanza. Primo: finché possiamo contrastarli con l'argomentazione razionale e tenendoli sotto controllo dell'opinione pubblica, mettere fuorilegge gli intolleranti sarebbe una sciocchezza. Il rimedio normale è la discussione, non il divieto. Secondo: il diritto a reprimerli scatta quando quelli rifiutano il piano stesso della discussione — quando insegnano ai propri seguaci a non ascoltare argomenti, li istruiscono a rispondere «con i pugni e le pistole», e trasformano il confronto in violenza. Non è una soglia di opinione: è una soglia di metodo.

Come si vede in pratica:

Weimar. Il caso di scuola. Un partito che diceva apertamente di voler abolire il sistema si servì di quel sistema — elezioni, seggi, immunità parlamentari — per arrivare al potere e chiuderlo dietro di sé.
La Germania del dopoguerra ha costruito la risposta dentro la costituzione: la streitbare Demokratie, la democrazia capace di difendersi. L'articolo 21 della Legge fondamentale consente di mettere fuorilegge i partiti che vogliono abolire l'ordinamento liberale, e la Corte costituzionale l'ha usato due volte, con lo SRP neonazista nel 1952 e con il partito comunista nel 1956.
Due tradizioni giuridiche opposte. Negli Stati Uniti il Primo Emendamento protegge anche il discorso d'odio, e la Corte Suprema ha stabilito che si può punire solo l'incitamento a un'azione illegale imminente e probabile. In Germania il paragrafo 130 del codice penale punisce la Volksverhetzung, e la negazione della Shoah è reato. Due Paesi democratici, la stessa domanda, risposte incompatibili.
Le piattaforme. Ogni regolamento di moderazione, oggi, è una risposta operativa a Popper scritta da un ufficio legale. E ogni polemica sulla censura online è la stessa nota 4, riscritta con parole peggiori.

Il paradosso non si «risolve»: si amministra. E la domanda difficile non è se esista un limite, ma chi decide dove sta — perché lo strumento pensato per difendere la società aperta è esattamente lo stesso che serve a chi vuole chiuderla.

7. Il paradosso di Bootstrap — l'informazione senza origine

Il nome viene dall'espressione inglese to pull oneself up by one's bootstraps, tirarsi su per i lacci degli stivali: fare qualcosa a partire dal nulla. Robert Heinlein ci scrisse sopra due racconti perfetti, By His Bootstraps (1941) e «Tutti voi zombie» (1959), quest'ultimo con un protagonista che, grazie a un cambio di sesso e a un paio di salti temporali, risulta essere il padre e la madre di sé stesso.

La forma pura è questa. Un compositore riceve la visita di un viaggiatore del tempo che gli porta lo spartito della sinfonia che lo renderà celebre. Lui la copia, la firma, la pubblica, diventa famoso; un secolo dopo un ammiratore prende quello spartito, sale sulla macchina del tempo e va a consegnarlo al giovane compositore. Nessuna contraddizione logica: ogni evento ha la sua causa, il cerchio si chiude senza strappi. Ma la sinfonia non l'ha scritta nessuno. È lì, e non è mai stata composta. L'informazione esiste, e non ha un'origine.

Qualche esempio in circolazione:

Terminator. Kyle Reese viene mandato indietro nel 1984 per proteggere Sarah Connor e diventa il padre di John Connor, cioè dell'uomo che lo ha mandato indietro. E il chip della mano del Terminator distrutto è ciò che permette a Cyberdyne di costruire Skynet, che costruirà il Terminator.
Somewhere in Time (1980): la vecchia signora dà all'uomo un orologio d'oro; lui torna nel 1912, glielo dona da giovane; lei lo conserva per sessant'anni e glielo restituisce. Quell'orologio non è mai uscito da una fabbrica.
Il Doctor Who del 2015 usa proprio Beethoven per spiegarlo, in un episodio in cui il Dottore racconta di essere andato a conoscerlo e di non averlo trovato — e di aver quindi pubblicato lui le sue partiture, che aveva imparato a memoria.
Harry Potter e il prigioniero di Azkaban. Harry si salva con un Patronus potentissimo perché ha visto sé stesso lanciarlo; e riesce a lanciarlo perché sa di esserci riuscito.

Il paradosso del bootstrap è il cugino tranquillo del paradosso del nonno, che invece è una contraddizione vera e propria: se torno indietro e impedisco l'incontro dei miei nonni, non nasco, quindi non torno indietro, quindi nasco. La fisica ha un modo elegante di tenere in piedi il primo e buttare il secondo: il principio di autoconsistenza di Novikov, formulato da Igor Novikov negli anni Ottanta e studiato nel 1990 dal gruppo di Kip Thorne con palle da biliardo lanciate dentro cunicoli spaziotemporali. Se i viaggi nel tempo sono possibili, allora sono possibili solo i percorsi che non generano contraddizioni: la probabilità di una storia incoerente è semplicemente zero. In quel quadro il nonno sopravvive sempre — e la sinfonia senza autore resta perfettamente legale.

8. La nave di Teseo — la cosa che cambia e resta sé stessa

Plutarco, Vita di Teseo, capitolo 23. Gli ateniesi conservarono per secoli la nave con cui Teseo era tornato da Creta; man mano che le assi marcivano le sostituivano con legname nuovo, tanto che la nave arrivò fino ai tempi di Demetrio Falereo. E fu, scrive Plutarco, un caso di scuola per i filosofi: gli uni dicevano che era la stessa nave, gli altri che non lo era.

Thomas Hobbes, nel De Corpore del 1655, ci mise il carico: e se qualcuno avesse raccolto tutte le assi vecchie via via smontate e con quelle avesse ricostruito una nave? Adesso ne abbiamo due. Quale delle due è la nave di Teseo? Quella con la continuità di forma e di funzione, o quella con la materia originale? Rispondere «tutte e due» rompe la logica; rispondere «nessuna» è peggio.

Non è un rompicapo da museo. È la domanda che sta sotto a quasi tutto:

Noi. Il corpo sostituisce le sue cellule di continuo — l'epitelio intestinale in pochi giorni, i globuli rossi in quattro mesi, lo scheletro in un decennio. (La storiella dei «sette anni per rifarsi tutti» è però falsa: i neuroni della corteccia cerebrale e il cristallino dell'occhio sono quelli della nascita, e ci accompagnano fino in fondo.) Nel frattempo cambiamo idee, gusti, opinioni politiche. In che senso sono la stessa persona di trent'anni fa?
La scopa di Trigger. In Only Fools and Horses, 1996, il netturbino Trigger è fiero della sua scopa: la stessa da vent'anni, dice, e in vent'anni gli ha cambiato diciassette teste e quattordici manici. È la formulazione più efficace del problema mai andata in onda, e in inglese ormai il paradosso si cita così.
Le band. Le Sugababes hanno cambiato formazione fino a non avere più, dal 2009, nemmeno una delle tre fondatrici, mentre le tre fondatrici suonavano altrove con un altro nome. Chi erano le Sugababes?
Gli edifici. Il Padiglione d'oro di Kyoto è una ricostruzione del 1955, dopo che un monaco lo aveva incendiato nel 1950. Il campanile di San Marco crollò nel 1902 e fu rifatto «com'era e dov'era», con l'inaugurazione nel 1912. E il santuario di Ise, in Giappone, viene demolito e ricostruito identico ogni vent'anni da tredici secoli: nel 2013 è stata la 62ª volta. Per la tradizione shintoista non c'è nessun paradosso — la nave è la forma, non il legno.
Il software. Un progetto riscritto pezzo per pezzo, finché non resta una riga dell'originale, ha ancora la stessa identità: lo stesso nome, la stessa storia in git, gli stessi utenti.

Le risposte serie della filosofia si dividono grosso modo in due. Chi dice che gli oggetti perdurano nel tempo estendendosi nella quarta dimensione, e la «nave» è l'intero verme spaziotemporale, di cui le due navi finali sono rami diversi. E chi dice, più prosaicamente, che l'identità degli oggetti composti non è un fatto del mondo ma una convenzione nostra: le assi ci sono, la nave è un modo di parlarne. Derek Parfit sostenne la stessa cosa delle persone, ed è la posizione più scomoda di tutte — perché se ha ragione, la domanda «sono ancora io?» non ha una risposta da scoprire, ma solo una da decidere.

9. Il paradosso del compleanno — bastano ventitré persone

Questo non è un paradosso vero: è un fatto matematico verificabile, che sembra sbagliato. In un gruppo di 23 persone scelte a caso, la probabilità che almeno due festeggino il compleanno lo stesso giorno è del 50,7 per cento. Più di una su due. Con 30 persone — una classe — si sale al 70 per cento; con 57 al 99; con 70 al 99,9.

Con 365 giorni disponibili, l'intuizione dice che ne servano un centinaio e passa. L'intuizione sta rispondendo a un'altra domanda: quante persone servono perché qualcuno abbia il compleanno lo stesso giorno mio. Quella è dura — servono 253 persone per arrivare al 50 per cento — perché lì i confronti sono 253, uno per persona. Ma la domanda vera non guarda me: guarda tutte le coppie possibili, e fra 23 persone le coppie sono 23 × 22 / 2 = 253. Le stesse 253. Il numero cresce col quadrato del gruppo, non in proporzione.

Il conto si fa al contrario, calcolando la probabilità che siano tutti diversi: il secondo deve evitare 1 giorno su 365, il terzo 2, il quarto 3, e così via. Moltiplicando i 22 fattori si arriva a 0,4927 — cioè il 49,3 per cento di probabilità che vada bene, e il 50,7 che non vada.


P(almeno due uguali) = 1 − (364/365 × 363/365 × … × 343/365) = 0,507

Da provare: nelle partite dei mondiali di calcio, ogni squadra in campo con arbitro e guardalinee fa circa 23 persone. Nei gironi si trovano regolarmente due compagni con lo stesso compleanno.

Ma la conseguenza seria è in crittografia. Se una funzione hash produce impronte di n bit, un attaccante non deve provare 2ⁿ combinazioni per trovare due file con la stessa impronta: gliene bastano circa 2^(n/2), cioè la radice quadrata. È l'attacco del compleanno, ed è il motivo per cui gli hash devono essere molto più lunghi di quanto sembrerebbe necessario. MD5 è caduto così, e nel 2017 il gruppo di Google che ha realizzato SHAttered ha prodotto due PDF diversi con lo stesso hash SHA-1 — circa novemila miliardi di miliardi di operazioni, e la fine di SHA-1 per gli usi in cui contava.

10. Il paradosso dell'impiccagione a sorpresa — la sorpresa che si autodistrugge

Il giudice pronuncia la condanna di venerdì: «Sarai impiccato a mezzogiorno di uno dei cinque giorni feriali della prossima settimana, e la mattina dell'esecuzione non saprai che è quel giorno.» Il condannato torna in cella e si mette a ragionare, e il ragionamento gli sembra ottimo.

Non può essere venerdì, l'ultimo giorno utile: se arrivasse giovedì sera vivo, saprebbe con certezza che tocca l'indomani, e la sorpresa salterebbe. Quindi venerdì è escluso. Ma allora l'ultimo giorno buono diventa giovedì — e se arrivasse mercoledì sera vivo, saprebbe con certezza che tocca giovedì, perché venerdì l'ha già eliminato. Quindi niente giovedì. Con lo stesso identico passo cadono mercoledì, martedì, lunedì. La sentenza non è eseguibile. Il condannato si addormenta sollevato.

Mercoledì a mezzogiorno arriva il boia, e per il condannato è una sorpresa completa. Il giudice aveva ragione su tutta la linea.

Il paradosso comparve — pare — da un annuncio radiofonico svedese del 1943 su un'esercitazione di protezione civile a sorpresa; il primo articolo accademico è di D. J. O'Connor su Mind, 1948. Da allora è stato riscritto in decine di versioni: l'esame a sorpresa, l'ispezione a sorpresa, l'uovo nella scatola.

Dove si rompe? Su questo si litiga da settant'anni, ed è il motivo per cui il paradosso è ancora vivo.

Willard Van Orman Quine, 1953: l'errore è nel primo passo. Il condannato, giovedì sera, non è in grado di sapere che verrà impiccato venerdì — perché il ragionamento che gli permetterebbe di saperlo si fonda sull'assunzione che la sentenza sia vera, e l'unico modo di renderla vera è che lui non lo sappia. Deve tenere aperta la possibilità di non essere impiccato affatto. Con quella possibilità in campo, la retroinduzione non parte nemmeno.
La lettura epistemica. Il problema è che l'annuncio parla di ciò che il condannato saprà, e il condannato lo usa come premessa del suo sapere: è autoreferenziale come «questa frase è falsa». È imparentato con il paradosso di Moore («piove, ma io non credo che piova»): un enunciato che può essere vero e che, appena qualcuno lo asserisce di sé, si sabota.
La lettura pratica, la più utile: la sentenza del giudice non è una proposizione, è un atto. Un'ispezione a sorpresa funziona benissimo nel mondo reale, e l'unico modo per il condannato di essere davvero certo del giorno è che il giudice sia già venuto meno alla sua parola.

C'è una versione minima e feroce del paradosso: un solo giorno. «Domani sarai impiccato, e non lo saprai.» Il condannato può dimostrare che la frase è falsa — se domani lo impiccano lui lo sa, quindi la seconda metà è falsa; se non lo impiccano è falsa la prima. Domani lo impiccano. E lui, che sapeva di non poterlo sapere, è sorpreso lo stesso.

Dieci paradossi, quattro modi di essere paradosso. Alcuni sono fatti veri che l'intuizione rifiuta e basta fare il conto — il compleanno, Parrondo, Braess. Alcuni sono problemi di linguaggio che si sciolgono decidendo cosa vogliamo dire con una parola — il sorite, la nave di Teseo. Alcuni sono problemi di comportamento, e la loro soluzione non è teorica ma organizzativa — Abilene, la tolleranza. E uno, Fermi, è ancora aperto: non sappiamo se sia un errore nel conto o una notizia molto brutta sul nostro futuro.

Quello che hanno tutti in comune è il servizio che rendono. Un paradosso è un errore di misura fra il mondo e il modello che ne abbiamo, e come tutti gli errori di misura non serve a smontare lo strumento: serve a tararlo.